打架一或两根肋骨骨折，算刑事案件吗？

根据你述说的情况，如你们双方当时就报着警，带着医院出具的病情诊断证明及医院相关材料，到公安机关做伤情鉴定，鉴定结果达到轻伤的就可请求公安机关追究打人者的刑事责任。