一、收敛的函数必有界，有界的函数为什么不一定收敛？
收敛函数就是趋于无穷的（包括无穷小或者无穷大），该函数总是逼近于某一个值，这就叫函数的收敛性
从字面可以含义，就可理解为，函数的值总被某个值约束着，就是收敛，所以收敛必定有界，但是不一定上下界都有。
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
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一般的级数u1+u2+...+un+...
它的各项为任意级数。
如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，
则称级数Σun绝对收敛。
如果级数Σun收敛，
而Σ∣un∣发散，
则称级数Σun条件收敛。
二、什么函数收敛但没有极限？
收敛函数一定有极限，有极限的函数不一定收敛。
函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。
根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。
有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。

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函数列{fn}具有极限函数的充要条件是：对任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<ε。通常这个N不仅与ε有关，也与自变量x有关，就算ε不变，当x发生改变时，N也会随之改变。
但是，如果某一函数列能找到这样一个正整数N，它只与ε有关，而对定义域（或其某个子集）上的任意一点x这个N都适用。
即对任何x∈D（D是函数列的定义域或其某个子集），只要n>N时，就有|fn(x)-f(x)|<ε。
